Modellierungswoche zum Thema "Dynamische Systeme", 2. - 7. Juni 2019 in der Jugendherberge Pirmasens

Die Themen im Überblick

Thema 1: Ein selbst-stabilisierendes Segway-Modell entwickeln

Thema 2: Trainingsplanung für den Lauftreff

Thema 3: Fahrradverleih in Pirmasens

Thema 4: Die Elefantenpopulation im Addo Elephant National Park (ZA)

Thema 5: Evakuierung der Jugendherberge Pirmasens

Thema 6: Impfpflicht für Masern - ja oder nein?

Thema 7: Planung öffentlicher Verkehrsmittel

Thema 8: Discgolf

In diesem Projekt ging es um die Aufgabe, in einem Lauftreff mit Läuferinnen und Läufern verschiedener Altersgruppen, Leistungsniveaus und unterschiedlicher Motivation ein geeignetes Training zu konzipieren. Als Ausgangspunkt wurden folgende Varianten vorgeschlagen:

• Die ganze Gruppe läuft mit einer Geschwindigkeit, die für die langsamsten Teilnehmer noch zu zu bewältigen ist.
• Das Tempo richtet sich nach den schnellen Teilnehmern – der Rest kommt dann irgendwie und irgendwann wieder am Ausgangspunkt an.
• Man bildet mehrere Gruppen, in denen das Leistungsvermögen sehr homogen ist.
• Alle laufen in einer Gruppe. Durch Abkürzungen und individuelle Tempowechsel wird erreicht, möglichst lange Zeit gemeinsam zu laufen und dabei niemand zu unter- oder überfordern. Am Ende kommen alle gemeinsam wieder zurück zum Startpunkt.

Im Grunde sind in dieser Auswahl nur die letzten beiden Punkte sinnvoll, wobei das Bilden von vielen homogenen Gruppen an zu geringer Anzahl der Teilnehmer oder auch mangelnder Zahl von Trainern scheitern kann.

Die Fragestellung wurde von drei Schülerinnen und einem Schüler bearbeitet und dabei von einem Lehrer unterstützt. Die Gruppe fand sehr schnell zu einem effizienten Arbeitsmodus und hat von Beginn an sehr viel und gut diskutiert. Die Überlegungen wurden jeweils am Flipchart dokumentiert, auf die zahlreichen auf diese Weise beschriebenen Blätter wurde auch sehr oft zurück gegriffen. Der Fokus lag zu Beginn darauf, ein Verständnis für die Anforderungen eines guten Trainings zu bekommen und die Faktoren zu erfassen, die vom Trainer dazu berücksichtigt werden müssen. Relativ früh entwickelte die Gruppe dazu ein modaleres Trainingsmodell: Ein Lauftraining sollte dabei bestehen aus verschiedenen Abschnitten der Typen

• Z-Strecke: Hier läuft jeder Teilnehmer in einer Geschwindigkeit nach Wunsch auf einer Teilstrecke nach Wunsch zum nächsten Sammelpunkt, wobei sich zufällig Paare oder Trios bilden, auch unter Läufern mit unterschiedlichem Leistungsniveau. Diese Abschnitte sollten 30% der Gesamtstrecke nicht überschreiten und jeweils max. 2km lang sein.
• V-Strecke: Hier läuft jeder mit einer vorzugsweise höheren Geschwindigkeit, die schnelleren Läufer bekommen dabei längere Alternativwege zugewiesen. Der Anteil an der Gesamtstrecke sollte in der Regel 50% nicht überschreiten und eine einzelne V-Strecke sollte max. 3km lang sein.
• G-Strecke: Auf Strecken dieses Typs, die relativ kurz sind (max. 1km) und dabei möglich eben bei guter Bodenbeschaffenheit, laufen alle gemeinsam in ruhigem Tempo. Insgesamt haben diese Strecken einen Anteil von etwa 20% an der Gesamtdistanz und sie eigenen sich z.B. für die Durchführung eines Lauf-ABCs.

bestehen, die jeweils zwischen zwei sogenannten Sammelpunkten der Gesamtstrecke verlaufen. Zusätzlich wurde definiert, welche Eignung eine gegebene Laufstrecke für jeden der drei Typen hat, wobei Bodenbeschaffenheit, Länge, Steigung und Anzahl/Länge der alternativen Wegstrecken bis zum nächsten Knotenpunkt eingehen.

Ebenso kann der Trainer aufgrund der Zusammensetzung und der Wünsche seiner Laufgruppe entscheiden, welchen Anteil die jeweiligen Typen an der Gesamtstrecke haben – eine Empfehlung wird dabei von der Gruppe als Basis gegeben. Weiter können bestimmte Sammelpunkte als Bestandteil des Strecke gewünscht werden und der Trainer kann Start- und Endpunkt des Trainings bestimmen.

Das bis zu diesem Zeitpunkt entwickelte Modell wurde anschließend per Hand anhand von zwei realen Wegenetzen – einem Gebiet mit vielen Feldwegen in der Umgebung von Worms sowie der Londoner Hyde Park – angewendet. So wurde für alle Wegstrecken die jeweilige Eignung im oben angesprochenen Sinn ermittelt und anschließend ein passendes Trainingsprogramm erstellt.

Zu diesem Zeitpunkt entschied sich die Gruppe dafür, keine App zur automatischen Lösung des Problems zu entwickeln, da der Aufwand für die Arbeit mit realen Kartendaten als für die zur Verfügung stehende Zeit zu hoch eingeschätzt wurde. Stattdessen wurde der zunächst grob vorliegende Algorithmus immer weiter verfeinert. Vor allem wurden die Teile spezifiziert und definiert, die bis dahin zwar den Gruppenmitgliedern intuitiv klar waren, zu denen allerdings keine genaue Vorschrift vorlag, die in Form eines Computerprogramms umgesetzt werden könnte. Auf diese Weise wurden auch noch Erweiterung des Modells gefunden, die die Qualität des geplanten Trainings erhöhen bzw. die Wahlmöglichkeiten für den Trainer erweitern.

Am Ende ist ein sehr umfangreiches und flexibles Modell entwickelt worden. Außerdem gibt es einen klar formulierten Algorithmus, welcher die gewünschte Planung eines Lauftrainings ermöglicht. Auf dieser Basis ist es nun für jemanden mit entsprechenden Programmierkenntnissen möglich, eine App zur automatisierten Planung von Lauftreff-Trainings zu entwickeln, die als Input die Daten eines Streckennetzes und die Anforderungen/Eigenschaften der Trainingsgruppe bekommt. Über inhaltliche Fragen muss sich der Programmierer keine Gedanken mehr machen, da das Modell sehr ausführlich und gut begründet ist. Aktuell ist geplant, das im Rahmen der Modellierungswoche entstandene Modell innerhalb eines mathematischen Fachpraktikums an der TU Kaiserslautern von Studierenden der Mathematik implementieren zu lassen.

Das Thema zum Fahrradverleih in Pirmasens stellte die Teilnehmer vor die Herausforderung, ein Konzept zum Ausleihen von Fahrrädern an verschiedenen Stationen in Pirmasens zu entwickeln. Ein paar Leitfragen zum Projekt waren folgende:

• Wo sind die besten Standorte für Stationen?
• Wie viele Fahrräder müssen maximal an einer Station Platz haben?
• Wie soll das Unternehmen den Transport von Fahrrädern, von überfüllten hin zu leeren Stationen, gestalten?

Die Gruppe fing am ersten Tag damit an, sich Gedanken über die Nachfrage von Leihfahrrädern in Pirmasens zu machen. Um an handfeste Daten zu kommen, führten sie eine Umfrage in der Jugendherberge und rund um den Bahnhof durch. Sie befragten 53 Personen, von denen 64% angaben, dass sie das System nutzen würden. Basierend darauf rechneten sie das Ergebnis auf alle in Frage kommenden Pirmasenser hoch und konzipierten für diese Anzahl an Nutzern den Fahrradverleih.

Um weitere Informationen über die Verteilung der Stationen und die Anzahl an Ausleihungen zu sammeln, schauten sie sich Dateien eines New Yorker Fahrradverleihsystems an. Hieraus konnten sie ablesen, wie viele Fahrräder bei wie vielen Nutzern pro Station sehen sollten. Die Analyse dieser sehr großen Textdateien führten sie mit Excel Tabellen durch.

Um auszurechnen wie viele Fahrräder sich für das Unternehmen lohnen würden, stellte die Gruppe eine Gewinnfunktion aus Kosten und Einnahmen auf und berechneten bei welchem Preis pro Fahrt und bei wie vielen Fahrrädern diese Funktion maximal wird. Diese resultierende Zahl der Fahrräder verteilte die Gruppe anschließend auf ausgewählte Stationen in der Stadt.

Die Zahl der Elefanten im Addo Elephant National Park in Südafrika ist so groß geworden, dass das ökologisch vertretbare Maximum erreicht wurde. Daraus entstehen Probleme, beispielsweise das Aussterben anderer Tier- und Pflanzenarten, die von den Elefanten verdrängt werden. Die Aufgabe der Teilnehmer in diesem Projekt war es, Maßnahmen für ein menschliches Eingreifen zu planen, mit denen die ökologischen Probleme des Parks gelöst werden können.

Dabei haben sich die Schülerinnen und Schüler mit der Beschaffenheit des Parks auseinandergesetzt, haben die Lebensgewohnheiten von Elefanten studiert und haben sich mit Populationsmodellen befasst. Um ökologische Schäden zu vermeiden, scheint es unvermeidlich, die vorhandene Population zu verringern. Da aber das gezielte Töten von Tieren keine angestrebte Strategie ist, wurde deutlich, dass versucht werden muss, den Wachstumsfaktor der Population zu manipulieren. Dies könnte beispielsweise dadurch ermöglicht werden, dass ein existierendes Überangebot an Gewässern im Nationalpark reduziert wird, was die Elefanten zu verstärktem Wanderverhalten zwingt.

Die Gruppe kombinierte ihre Ergebnisse mit einer von offizieller Seite bereits diskutierten Erweiterung des Nationalparks und berechnete im Modell, wie stark der Wachstumsfaktor beeinflusst werden muss, um in Zukunft ein stabiles Ökosystem aufzubauen.

Feueralarm! Wie kommen wir alle sicher und möglichst schnell aus der Jugendherberge?

Mit dieser Frage haben sich fünf Schüler eine Woche lang beschäftigt.

Bei Evakuierungen von Gebäuden stellt nicht nur das Feuer eine große Gefahr dar, sondern auch das panische und oft planlose Verhalten der Betroffenen. Innerhalb kürzester Zeit müssen alle durch die Gänge und Türen nach draußen gelangen. Durch Unsicherheit, Hektik und Planlosigkeit kann es schnell zu Stau, Unfällen und unnötigen Verzögerungen führen. Deswegen ist ein Evakuierungsplan von Nöten, sodass alle das Gebäude möglichst geordnet verlassen und nach draußen in Sicherheit gelangen.

Aufgabe der Gruppe war es, einen Evakuierungsplan für die Jugendherberge zu erstellen. Interessant war außerdem herauszufinden, ob der aktuelle Evakuierungsplan der Jugendherberge verbessert werden kann.

Bevor ein Plan aufgestellt werden konnte, benötigten die Schüler zuerst Daten über die Jugendherberge. Dazu gehörten neben dem Gebäudeplan auch die Maße der jeweiligen Räume, Flure und Treppen. In der Jugendherberge finden maximal 220 Gäste Platz und es wird im Schnitt von 30 Angestellten ausgegangen.

Die Fluchtgeschwindigkeit hat die Gruppe im Flur sowie im Treppenhaus berechnet: Die Durchschnittsgeschwindigkeit in den Fluren beträgt 0.35 m/s und im Treppenhaus 0.3185 m/s. Diese Daten haben sie selbst gemessen, indem sie die Flure mit abgegangen sind.

Nachdem die Daten gesammelt wurden, ging es zur mathematischen Modellierung über: Mithilfe der Darstellung eines Graphen werden die Aufenthaltspunkte (Zimmer, Treppenhaus) als Knoten und deren Verbindungen als Kanten definiert, sodass der Gebäudebau der Jugendherberge als Graph modelliert ist. Das Gewicht einer Kante entspricht der Distanz zwischen den einzelnen Aufenthaltspunkten. Dies erscheint sinnvoll, da stets der kürzeste Weg präferiert wird. Mithilfe dieses Modells erreichen die Schüler zum einen eine gute Veranschaulichung und zum anderen eignen sich Graphen ideal, um Algorithmen anzuwenden.

Die Gruppe hat in Python ein Programm geschrieben, dass die Personen – abhängig von der Tageszeit – überall im Gebäude verteilt. Im Programm kann zwischen einem großen Feuer (zwei Kanten fallen aus) und einem kleinen Feuer (eine Kante fällt aus) unterschieden werden. Ist eine Kante durch Feuer nicht passierbar, wird ihr Kantengewicht so erhöht, dass der Algorithmus diese Kante beim kürzesten Weg nicht berücksichtigt. Der kürzeste Weg wird zum jeweiligen Ausgang berechnet, bei Stau wird das Gewicht an den betroffenen Kanten erhöht. Außerdem wird die auf die zu benötigende Fluchtzeit eine Reaktionszeit von 30 Sekunden dazu addiert. Das Programm gibt für jeden Aufenthaltspunkt den Weg zum Ausgang, deren Länge und die gebrauchte Zeit an.

Zum Schluss konnten die Schüler noch Optimierungsvorschläge für die Jugendherberge formulieren: An den Notausgängen sollen Sensoren zur Zählung der Personen befestigt werden. Elektronische Anzeigetafeln stehen in jedem Knotenpunkt, die den optimalen Weg für das gesamte Gebäude anzeigt.

Die Gruppe hat nicht nur einen „statischen“ Evakuierungsplan erstellt, sondern einen dynamischen, der sich an die aktuellen Gegebenheiten anpasst und sich verändert.

Die Projektstellerin ist mit dem Ergebnis mehr als zufrieden.

In der Projektgruppe Impfpflicht für Masern: ja oder nein? ging es um die Frage, ob das Prinzip der Herdenimmunität bestätigt werden kann. Dieses besagt, dass in einer Population, in der sehr viele Individuen geimpft sind, auch solche geschützt werden, die keine Impfung haben (weil sie beispielsweise aus gesundheitlichen Gründen nicht geimpft werden können). Sind ausreichend viele Personen gegen eine Krankheit immun, so kommt es erst gar nicht zu einer Verbreitung, wodurch anfällige Personen besser geschützt sind.

Die Gruppe erarbeitete zwei unabhängige Modelle: in einem wurde die Gesamtpopulation betrachtet, ohne auf die räumliche Verteilung der Individuen zu achten. Begegnungen zwischen Gesunden und Kranken waren daher willkürlich. Im anderen Modell wurden die Postitionen der Individuen als stochastische Prozesse modelliert, so dass die Ausbreitung der Krankheit lokal begrenzt sein konnte.

Beide Modelle zeigten, dass bei einer hohen Impfrate und wenigen infizierten in der Startpopulation eine weite Verbreitung der Krankheit praktisch ausgeschlossen werden konnte.

Im Projekt „Planung öffentlicher Verkehrsmittel sollten die Schülerinnen und Schüler ein System entwickeln, mit dem man einer Stadt helfen kann, eine Entscheidung bezüglich des Einsatzes von öffentlichen Verkehrsmitteln zu treffen.

Die Schülerinnen und Schüler haben sich zunächst mit der Frage beschäftigt, welche Verkehrsmittel welche Bedingungen erfordern und ab wann sich die einzelnen Verkehrsmittel lohnen. Aus diesen Angaben haben sie ein Programm entwickelt, das aufgrund von zuvor getätigten Angaben eine Empfehlung abgibt, welche Verkehrsmittel die entsprechende Stadt einsetzen sollte. Weiterhin wurde eine vorläufige Kostenkalkulation aus diesen Angaben erstellt.

Den Hauptfokus hat die Gruppe darauf gelegt, die Haltestellen in der Stadt zu platzieren. Hierbei haben sie sich auf ein dezentrales System geeinigt, bei welchem die Vororte angebunden, aber auch untereinander verknüpft sind. Zur genaueren Platzierung haben die Schülerinnen und Schüler die Bebauung der Stadt untersucht. Hierfür haben sie ein Programm geschrieben, das die Daten aus OpenStreetMaps filtert und die verschiedenen Gebäudearten kategorisiert und nach Wichtigkeit sortiert. Hierauf aufbauend haben sie ein System entwickelt, das die Stadt in verschiedene Gebiete einteilt. In diesen Gebieten werden jeweils 1-Standortprobleme auf der Ebene gelöst. Hierbei gehen sie von einem Medianproblem aus, welches als gegebene Standorte die wichtigen Örtlichkeiten nimmt, die zuvor aus OSM gezogen wurden.

Thema 8: Discgolf

Discgolf ist eine Sportart, die dem Golf sehr ähnlich ist, aber mit einer Wurfscheibe gespielt wird. Die Spieler versuchen, mit dieser Scheibe in möglichst wenigen Würfen das Ziel zu treffen, wobei immer von der Stelle weitergespielt wird, an der die Disc gelandet ist. Die Spielbahnen sind üblicherweise zwischen 60 und 200 Meter lang und können durch hügeliges Gelände führen. Außerdem kann es Strafzonen und Hindernisse, wie zum Beispiel Bäume, geben sodass das Ziel nicht immer in gerader Linie angespielt werden kann. Je nach Situation können erfahrenere Spielerinnen sich frei zwischen mehreren Discs mit jeweils unterschiedlichen Flugeigenschaften entscheiden.

Das Ziel des Projektes "Discgolf für Noobs" war es, herauszufinden, welche Strategie ein Anfänger verfolgen sollte, um möglichst erfolgreich zu spielen.

Die Gruppe begann damit, auf dem Discgolfplatz in der Nähe der Jugendherberge ein paar Runden zu spielen.
Da bis auf einen Schüler noch nie jemand Discgolf gespielt hatte, konnten die Gruppe so direkt die Schwierigkeiten identifizieren, die ein Anfänger hat.

Die wichtigste Beobachtung war, dass es gar nicht so einfach ist, gerade zu werfen, da sich die Disc am Ende des Fluges oft in eine Kurve neigt. Außerdem warfen die Rechtshänder tendenziell zu weit nach links und die Linkshänder zu weit nach rechts.

Man war sich schnell einig, dass zunächst eine genauere Beschreibung der Würfe gebraucht wird, bevor man Strategien entwickeln kann. In der Diskussion wurde klar, dass das Flugverhalten einer Disc von vielen Faktoren abhängt. Dazu gehören Abwurfwinkel und Neigung, die Geschwindigkeit, die Rotationsfrequenz der Disc und auch der Wind.

Eine Tatsache ist dabei entscheidend: Niemand, schon gar kein Anfänger, kann zum Beispiel mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s werfen. Es ist also auch wenig sinvoll, einem Spieler solche absoluten Anweisungen zu geben. Stattdessen kann ein Spieler aber subjektiv einschätzen, ob er eher leicht, mittelstark oder mit voller Kraft wirft. Dementsprechend wurden dann auch die weiteren Experimente durchgeführt.
Jede Schülerin führte jeweils fünf Würfe jeder Kategorie "leicht", "mittel" oder "stark" auf einer ebenen Fläche ohne Hindernis durch. Von jedem Wurf wurde jeweils die Weite und die Abweichung von der Zielgeraden ermittelt.

Die Schülerinnen entschieden sich dafür, parallel an zwei verschiedenen Methoden zu arbeiten.
Einerseits sollte ein physikalisches Modell hergeleitet werden das zur Beschreibung der Würfe dient.
Andererseits sollte mithilfe der Messungen eine rein stochastische Beschreibung erstellt werden.

Die Effekte, die einen Einfluss auf den Flug der Disc haben, waren relativ bald identifiziert: Gewichtskraft, Aerodynamischer Auftrieb inclusive Magnus-Effekt und gyroskopischer Trägheit. Allerdings stellte sich im Verlauf des zweiten Tages heraus, dass die Modellierung der aerodynamischen Effekte den zeitlichen Rahmen der Modellierungswoche sprengen würde. So wurde nach einer längeren Diskussion beschlossen, diesen Ansatz wieder zu verwerfen und sich ganz auf die statistische Beschreibung zu konzentrieren.

Anhand von insgesamt 180 Würfen erstellten die Schüler ein Histogramm mit Wurfweite und Abweichung für jede Wurfkategorie. Diese Daten dienten als Grundlage für eine Simulation, mit der verschiedene Strategien bewertet werden konnten. Als Bewertungskriterien dienten die Anzahl der Würfe bis zum Ziel und die Häufigkeit mit der ein Spieler gegen ein Hindernis wirft. Um diese Werte näherungsweise zu bestimmen, wird jede Strategie dabei mehrere tausend Mal simuliert wobei die einzelenen Würfe zufällig aus dem Histogramm gezogen werden.

Zum Schluss überlegten sich die Schüler noch eine Methode um das Programm für andere Spieler zu kalibrieren, ohne dass diese die ganzen Messungen widerholen. Dazu ersetzten sie das Histogramm durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nur wenige Parameter erhält und passten diese Verteilung an die gegebenen Daten an. Mit einer geringen Anzahl an Würfen kann diese Verteilung an neue Spielerinnen angepasst werden.