Algebraische Geometrie
Während in der linearen Algebra lineare Gleichungen in vielen Variablen studiert werden, werden in einer klassischen Einführungsvorlesung der Algebra meist polynomiale Gleichungen in einer Variablen betrachtet. Die algebraische Geometrie verknüpft diese zwei Gebiete durch das Studium polynomialer Gleichungen in vielen Variablen. Ganz allgemein werden sogar beliebige kommutative Ringe mit der Geometrie verknüpft. Wie funktioniert diese Verknüpfung? Im Falle der polynomialen Gleichungen stellen deren Nullstellenmengen ein geometrisches Objekt dar.
In der Forschung der algebraischen Geometrie geht es unter anderem darum, die so gewonnen Kurven, Flächen und höher dimensionalen Varietäten bezüglich geeigneter Invarianten zu klassifizieren. Dabei ist es besonders interessant, die algebraischen Eigenschaften zum Beispiel der Menge aller Kurven zu einem festen Geschlecht zu untersuchen (Modulraum).
Singularitätentheorie
Schon in der Schule lernt man, dass man nicht durch Null teilen darf.
Es liegt aber im Wesen der Mathematik Gewohntes in Frage zu stellen:
Was passiert also, wenn sich ein Divident immer mehr der Null annähert?
In unterschiedlichsten Situation führt dies zu sogenannten Singularitäten, das heißt vereinzelten Stellen, an denen Objekte besonderes Verhalten oder Struktur aufweisen. Singularitäten von Gleichungssystemen haben meist starke Auswirkungen auf die (Geometrie der) entsprechenden Lösungsmengen. Singularitätentheorie bedient sich bei deren Untersuchung vielfältiger Methoden u.a. aus Topologie, Algebra und Analysis.
Tropische Geometrie
Die tropische Geometrie ist ein neues und aktives Teilgebiet der Mathematik, in dem versucht wird, komplizierte algebraische oder geometrische Probleme auf kombinatorische zurückzuführen. Viele Konstruktionen in der algebraischen Geometrie haben auf diese Art eine kombinatorische Entsprechung in der tropischen Geometrie. Wenn diese neue Situation dann einfacher zu verstehen ist, kann man versuchen, die tropischen Resultate wieder in die algebraische Geometrie zurück zu übersetzen. Tropische Geometrie hat darüber hinaus auch viele Beziehungen zu anderen Forschungsgebieten wie z.B. algebraischer Statistik und sogar Bioinformatik.
Darstellungstheorie
Gruppen beschreiben die Symmetrien von mathematischen oder realen Objekten; sie treten in der Mathematik und den Naturwissenschaften auf. Die Art ihres Auftretens wird dabei durch den mathematischen Begriff einer Darstellung beschrieben. Zum Verständins dieser Symmetrien ist daher eine Kenntnis der möglichen Darstellungen der in Frage kommenden Gruppen nötig.
Die Forschungsinteressen der AGAG im Bereich der Gruppen- und Darstellungstheorie umfassen unter anderem die modulare Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Lokal-global-Vermutungen von Alperin, Brauer und McKay, lineare algebraische Gruppen, endliche Gruppen vom Lie-Typ und Charaktertheorie.
Zahlentheorie
Zahlentheorie ist die Untersuchung von Zahlkörpern: Ausgehend von einem Polynom werden (symbolische) Eigenschaften der Nullstellen betrachtet. Zahlentheorie ist ein klassisches Gebiet der reinen Mathematik das heute weitreichende Anwendungen in der Kryptographie und Nachrichtenübertragung hat: Sowohl die meisten modernen Verschlüsselungstechniken als auch fehlerkorrigierende Codes fußen in der Zahlentheorie.
Computeralgebra
Klassische Mathematik beschäftigt sich oft damit, die Existenz von interessanten Objekten zu zeigen - oft ohne auch nur Ansätze zu haben, diese Objekte auch zu finden. Zum Beispiel ist wohlbekannt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Andererseits für eine (sehr) große Zahl dies zu überprüfen ist sehr viel schwerer. In der AGAG werden konstruktive Methoden entwickelt, die die theoretischen Antworten unterstützen. Dies erlaubt es dann auch "experimentell" tätig zu werden, um Ideen für Beweise zu sammeln. Die in der AGAG entwickelten Computeralgebrasysteme kann man hier finden.