Einen Schwerpunkt unserer Forschung bildet die Portfolio-Optimierung, also die Bestimmung optimaler Investment- und Konsumstrategien in Finanzmärkten. Hierbei kann "optimal" bedeuten, dass der erwartete Nutzen aus Endvermögen und/oder Konsum maximiert oder ein bestimmtes Risiko minimiert wird. Die Parameter im Markt, die die Aktienkurse beeinflussen, sind dabei meist nicht beobachtbar und müssen anhand von Renditen geschätzt werden.

Insbesondere beschäftigen wir uns in der Arbeitsgruppe mit Portfolio-Optimierung unter Modellunsicherheit, d.h. wenn keine Verteilung von Modellparametern bekannt ist. Das führt zu einer Worst-Case-Optimierung und zu der Frage, welche Strategien besonders robust gegenüber Unsicherheit sind. Außerdem betrachten wir Optimierungsprobleme mit Crash-Szenarien und untersuchen, welchen Einfluss Expertenmeinungen auf die Schätzung von Marktparametern haben.

In unserer Arbeitsgruppe werden verschiedene Verfahren zur effektiven Bestimmung von Optionspreisen entwickelt, zum Beispiel mittels Approximation durch neue Binomialverfahren in mehrdimensionalen Preismodellen, durch verbesserte Multi-Level-Monte-Carlo-Verfahren, oder durch die Entwicklung von Preissystemen unter Transaktionskosten. In Kooperation mit dem Fachbereich Elektrotechnik wird auch an der hardwareseitigen Beschleunigung gearbeitet.

Einen weiteren Schwerpunkt bildet die Entwicklung von neuen Ratingsystemen zur Bewertung von Finanzprodukten mit Hilfe nutzenbasierter Risikomaße oder von Risiko-Chance-Klassen zum Vergleich von Altersvorsorgeprodukten. Die Tarifgestaltung in Versicherungsmärkten unter regulatorischen Vorgaben, wie z.B. Unisextarife, wird in Gleichgewichtsmodellen untersucht. Diese werden auch auf Versicherungsprodukte im Agrarbereich übertragen.

In Finanzmärkten zeigen sich wichtige Eigenschaften, wie sie für die Preisbestimmung, Portfoliooptimierung oder Risikoanalyse benötigt werden, in historischen Renditezeitreihen. Um die Mechanismen der Renditeprozesse besser zu verstehen, kann man Modelle aufsetzen, die möglichst genau die beobachteten Daten widerspiegeln. Eine andere Möglichkeit besteht darin, verschiedene Methoden der Datenanalyse anzuwenden, um bestimmte Eigenschaften der Daten zu ermitteln.

Neben der vielfältigen Entwicklung angepasster Modelle, zum Beispiel von Regime-Switching-Modellen, werden modellspezifische Methoden der Parameterschätzung entworfen und analysiert, zum Beispiel basierend auf Methoden des stochastischen Filterns. Zur Untersuchung von Eigenschaften der historischen Renditeprozesse werden auch Cluster-Methoden eingesetzt, zum Beispiel um risikominimierende Portfolios zu bestimmen.

Überall da, wo keine geschlossenen Lösungen für Probleme der Finanzmathematik verfügbar sind, sind Monte-Carlo-Methoden von großem Nutzen. Sie sind oft für die Bewertung und Risikobemessung komplexer Finanzprodukte unerlässlich und erfreuen sich deshalb sowohl in der Anwendung als auch in der Forschung großer Beliebtheit.

Die Basis der Monte-Carlo-Simulation ist das Starke Gesetz der Großen Zahlen, nach dem das arithmetische Mittel von unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert. Für die Optionsbewertung legt dies sofort das Vorgehen nahe, den Optionspreis durch Simulation unabhängiger Realisierungen des Payoffs der Option und anschließender Approximation des abgezinsten Erwartungswertes durch das arithmetische Mittel zu bestimmen.

Zuverlässigkeit von Stahlbetongebäuden

Im Rahmen des GrK 1932 analysieren wir in Zusammenarbeit mit dem Lehrstuhl "Massivbau und Baukonstruktion" des Fachbereichs Bauingenieurwesen die Zuverlässigkeit von Stahlbetongebäuden. Unser Fokus liegt dabei vor allem auf systemrelevanten sowie zeitabhängigen Aspekten, die in ähnlicher Form als Modell auch am Finanzmarkt existieren (z.B. Kreditausfallrisiken im Bankensektor).

Mathematisch finden hier insbesondere Monte-Carlo-Methoden (Importance Sampling) sowie Bayessche Inferenz Anwendung.