• Vektorrechnung: Vektoren, Unterräume, lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension, Skalarprodukt, Orthogonalität, Projektionsaufgaben, Vektorprodukt
• Matrixkalkül: Definition, Rechenregeln, Basiswechsel, lineare Abbildungen, Beschreibung von linearen Abbildungen über Matrizen, lineare Gleichungssysteme (Beschreibung über Matrizen, Struktur der Lösungen, Gaussalgorithmus), Invertierbarkeit, Berechnung von Inversen, Normalengleichungen und Ausgleichsprobleme, Determinanten, Eigenwerte und –vektoren (Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation)
• Differenziation (mehrdimensional): Skalar- und Vektorfelder, Kurven, Niveaulinien, totale und partielle Differenzierbarkeit, Richtungsableitung, implizites Differenzieren, Satz von der Umkehrfunktion, Differenziationsregeln (insb. Umkehrfunktion und Kettenregel), Taylorentwicklung, Extrema unter Nebenbedingungen (skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher), Gradientenfelder, Potentiale, Divergenz und Rotation, Anwendungen
• Integration (mehrdimensional): Normalbereiche, Integrale mehrerer Veränderlicher über Normalbereichen

• Vektorrechnung: Vektoren, Unterräume, lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension, Skalarprodukt, Orthogonalität, Projektionsaufgaben, Vektorprodukt
• Matrixkalkül: Definition, Rechenregeln, Basiswechsel, lineare Abbildungen, Beschreibung von linearen Abbildungen über Matrizen, lineare Gleichungssysteme (Beschreibung über Matrizen, Struktur der Lösungen, Gaussalgorithmus), Invertierbarkeit, Berechnung von Inversen, Normalengleichungen und Ausgleichsprobleme, Determinanten, Eigenwerte und –vektoren (Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation)
• Differenziation (mehrdimensional): Skalar- und Vektorfelder, Kurven, Niveaulinien, totale und partielle Differenzierbarkeit, Richtungsableitung, implizites Differenzieren, Satz von der Umkehrfunktion, Differenziationsregeln (insb. Umkehrfunktion und Kettenregel), Taylorentwicklung, Extrema unter Nebenbedingungen (skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher), Gradientenfelder, Potentiale, Divergenz und Rotation, Anwendungen
• Integration (mehrdimensional): Normalbereiche, Integrale mehrerer Veränderlicher über Normalbereichen

• Introduction to ODEs
• empfohlen: Introduction to PDEs

• Modellierung von Problemen aus den Lebenswissenschaften mithilfe von Differenzengleichungen: x(t+1) = f(x(t)).
• Mathematische Werkzeuge für Differenzengleichungen kennenlernen.
• Untersuchung der Modelle hinsichtlich (Stabilitäts)Analyse, Simulationen

Single species models in continuous time:

• Population growth models: Malthus, habitat variability, Verhulst, contest and scramble, generalist predation.
• Elementary bifurcations and catastrophes (example: insect outbreak), harvesting.
• Spatial spread of a single population, traveling waves, and similarity solutions.

Multispecies models in continuous time:

• Lotka-Volterra models (predator-prey, competition, symbiosis).
• Enzyme kinetics, inner and outer solutions, asymptotic methods.
• Turing pattern formation, animal coat patterns.
• Invariant sets.
• Spatial spread of populations: reaction-diffusion equations, traveling waves, taxis, models for tumor growth and invasion.

Kinetic transport equations: multiscale modeling, upscaling, method of moments.

• Examples: Brain tumors and their spread in anisotropic tissues,  animal movement on path networks.

• Grundlegende Konzepte und Rechentechniken: Mengentheorie, Reelle und komplexe Zahlen (speziell kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten, Wurzeln komplexer Zahlen), Lösung von Gleichungen und Ungleichungen

• Funktionen einer Variablen:Grundlegende Konzepte und elementare Funktionen, Stetigkeit, Symmetrie, Monotonie, Umkehrfunktionen, rationale Funktionen, Asymptoten, Folgen und Reihen (Grenzwertbegriff, Rechenregeln), Potenzreihen (Konvergenzverhalten und Rechnen mit Potenzreihen), Exponentialfunktion und Logarithmus, trigonometrische Funktionen

• Differenziation (eindimensional): Definition von Grenzwerten und Bedeutung der Ableitung, Rechentechniken, implizite Ableitung, Mittelwertsatz, Extremwerte, Regel von de l’Hospital, Taylor-Entwicklung, Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen, Anwendungen (Fehlerabschätzung und Approximation)

• Integration (eindimensional): Definites/Indefinites Integral (Stammfunktion, Riemann-Summe, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz), Integrationstechniken (Substitution, partielle Integration) Integration von Potenzreihen und rationalen Funktionen, Ideen der numerischen Integration, uneigentliche Integrale, verschiedene Anwendungen

• Günter Bärwolff, Höhere Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag (2005), L INF 25
• Thomas Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer (2005), ARB 057/170
• Thomas Rießinger, Übungsaufgaben zur Mathematik f. Ing., Springer (2004), MAS 024/021
• Neunzert, Eschmann, Blickensdörfer, Schelkes: Analysis 1, L mat 1296.

• Beispiele für Banachräume und Hilberträume
• Kompaktheit, Heine-Borel, Arzelà-Ascoli
• beschränkte lineare Operatoren, adjungierte Operatoren, Neuman-Reihe
• Orthogonalität, Hilbertraum-Basis, Riesz-Darstellung, Lax-Milgram, selbstadjungierte Operatoren, Spektraltheorie

• H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, Berlin, 2006
• H. Heuser: Funktionalanalysis. Teubner, Wiesbaden, 2006.

• Weak derivatives and partial integration, mollifiers, properties.
• Hölder spaces, boundaries and regularity.
• Sobolev spaces, approximations by smooth functions.
• Extensions and traces.
• Sobolev inequalities and embeddings.
• Poincare's inequality.
• Some applications to elliptic PDEs.

We recommend this lecture for everyone who wants to work with partial differential equations

• R.A. Adams: Sobolev Spaces, Academic Press, 1975.
• H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Dierential Equations, Springer, 2011.
• P. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM, 2013.
• L.C. Evans: Partial Dierential Equations, AMS 2010.
• G. Leoni: A rst course in Sobolev spaces, AMS 2009.

Partial Differential Equations play an important role in natural sciences and engineering. Stationary processes can be modelled by differential equations that involve more than one spatial variable, e.g. equations for membrans or electrostatic and gravitational potentials. The equations can also include time derivatives to describe transient processes like growth processes, wave propagation, heat transfer or fluid flow. In this introductory lecture the three most important types of second order PDEs are presented: elliptic, parabolic and hyperbolic equations. Explicit solution techniques and the qualitative baviour of solutions is discussed. Special knowledge of results from functional analysis is not required.

• Lecture notes
• L.C. Evans: Partial differential equations. AMS 1998;
• F. John: Partial differential equations. Springer-Verlag 1986.

Single species models in continuous time:

• Population growth models: Malthus, habitat variability, Verhulst, contest and scramble, generalist predation.
• Elementary bifurcations and catastrophes (example: insect outbreak), harvesting.
• Spatial spread of a single population, traveling waves, and similarity solutions.

Multispecies models in continuous time:

• Lotka-Volterra models (predator-prey, competition, symbiosis).
• Enzyme kinetics, inner and outer solutions, asymptotic methods.
• Turing pattern formation, animal coat patterns.
• Invariant sets.
• Spatial spread of populations: reaction-diffusion equations, traveling waves, taxis, models for tumor growth and invasion.

Kinetic transport equations: multiscale modeling, upscaling, method of moments.

• Examples: Brain tumors and their spread in anisotropic tissues,  animal movement on path networks.

• Differentialgleichungen erster Ordnung: Autonome Differentialgleichungen erster Ordnung, Variation der Konstanten, explizit lösbare Fälle, Anfangswertprobleme,
• Existenz und Eindeutigkeit: Funktionalanalytische Grundlagen, Banachscher Fixpunktsatz, Satz von Picard-Lindelöf, Fortsetzbarkeit von Lösungen, Existenzsatz von Peano,
• Qualitatives Verhalten: Lemma von Gronwall, Stetige Abhängigleit von den Daten, Ober- und Unterfunktionen,
• Lineare Differentialgleichungen: Homogene lineare Systeme, Matrix-Exponentialfunktion, Variation der Konstanten, Differentialgleichungen n-ter Ordnung,
• Stabilität: Dynamische Systeme, Phasenraum, Hamiltonsche Systeme, Asymptotisches Verhalten, Stabilitätstheorie nach Lyapunov.

Partial Differential Equations play an important role in natural sciences and engineering. Stationary processes can be modelled by differential equations that involve more than one spatial variable, e.g. equations for membrans or electrostatic and gravitational potentials. The equations can also include time derivatives to describe transient processes like growth processes, wave propagation, heat transfer or fluid flow. In this introductory lecture the three most important types of second order PDEs are presented: elliptic, parabolic and hyperbolic equations. Explicit solution techniques and the qualitative baviour of solutions is discussed. Special knowledge of results from functional analysis is not required.

• Lecture notes
• L.C. Evans: Partial differential equations. AMS 1998;
• F. John: Partial differential equations. Springer-Verlag 1986.

Vektoranalysis: Mehrdimensionale Integralrechnung, insbesondere:

• Parametrisierung von Kurven und Flächen im Rⁿ,
• Berechnung von Oberflächen- und (skalaren und vektoriellen) Kurvenintegralen im Rⁿ,
• Tangentialräume und Differential, 
• Klassische Operatoren auf Vektorfeldern: div, rot, grad
• Integralsätze von Gauß und Stokes, Green’sche Formeln, Anwendungen im 3-dimensionalen Euklidischen Raum

Differentialgleichungen: Grundlegende Konzepte zur Behandlung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen:

1a. Gewöhnliche Differentialgleichungen: 

• Differentialgleichungen erster Ordnung: Existenz und Eindeutigkeit, Autonome Differentialgleichungen erster Ordnung, Separationsansatz, Variation der Konstanten, explizit lösbare Fälle, Anfangswertprobleme
• Lineare Differentialgleichungen:  Homogene lineare Systeme, Matrix-Exponentialfunktion, Variation der Konstanten, Differentialgleichungen n-ter Ordnung

1b. Partielle Differentialgleichungen:

• Klassifikation und Wohlgestelltheit von partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung
• Wellengleichung, Poissongleichung, Fouriertransformation
• Lösungsmethoden: Separationsansatz, Fouriertransformation

1c. Numerische Lösung von Differentialgleichungen:

• Einzelschrittverfahren (implizit/explizit)
• Runge-Kutta-Verfahren
• Schrittweitensteuerung