AG Computational Stochastics

Fehler und Hinweise zum Buch "Monte Carlo-Algorithmen"

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Seite 33, -9:Rechtsecksbereich (ein s zuviel) [danke, Larisa Y.]
Seite 72, Aufgabe 3.6:Hier ist x = (x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3).
Seite 88, zweite Zeile: Hier sollte Quasi-Dichte statt Dichte stehen.
Seite 130, Aufgabe 4.17:Bei der Definition von $X_{i*2^{m-l}}$ sollte der Faktor beim letzten Summanden $2^{(m-l-1)/2}$ heißen. [danke, Larisa]
Die erste Teilaussage von Lemma 5.29 gilt nur für $\gammma \in \Gamma \cap \left[0,\infty\right[$; der Fehler im Beweis für negative $\gamma$ tritt bei der ersten Abschätzung auf Seite 163 oben auf. Dies zieht folgende weitere Änderungen nach sich: Im Anschluss an Gleichung (5.22) fordern wir auch, dass $0$ ein innerer Punkt von $\Gamma$ ist. In der drittletzten Zeile auf Seite 163 schließen wir dann folgendermaßen: Wegen $J(0) = 0$ folgt $J(\gamma^*) > 0$, und $J^\prime(0) = \epsilon > 0$ sichert zusammen mit der Konkavität von $J$, dass $\gamma^* > 0$. Im Beweis von Lemma 5.31 betrachten wir $\gammma \in \Gamma \cap \left[0,\infty\right[$. In Zeile 8 auf Seite 166 nehmen wir an, dass (5.23) eine positive Lösung $\gamma^*$ im Inneren von $\Gamma$ besitzt. [Wir danken Verena Hoffmann und Johannes Blank.]
Seite 175, Aufgabe 5.8:Bei der Summe der x_i sollte natürlich auch der Laufindex i statt j heißen. [danke, Herr Nennstiel]
Seite 188,in der Definition, letzte Zeile: Das letzte z' sollte ein z sein.
Seite 198, Beweis von Lemma 6.21:Hier muss in der vorletzten Zeile der Faktor 1/2 ersetzt werden durch 2^{-n}. [danke, Daniel R.]
Seite 203, Zeile 4: Hier wird festgestellt, dass die Folge (X_n,Y_n)_{n\in\N_0} eine Markovkette mit Werten in Z\times Z ist, deren Uebergangsmatrix \widetilde Q die Gleichung (*) (\widetilde Q)^n_{(z,t),(z',t')} = Q^n_{z,z'}\cdot Q^n_{t,t'} fuer alle z,z',t,t'\in Z und alle n\in\N erfuellt. Um das einzusehen, muss man verwenden, dass Q irreduzibel und aperiodisch ist. Letzeres impliziert, dass es ein N\in\N gibt, so dass P(\{X_n=z\})>0 und P(\{Y_n=z\})>0 fuer alle n\ge N und z\in Z gilt. Die Unabhängigkeit der beiden Ketten liefert dann P(\{(X_n,(Y_n)=(z,t)\})>0 für alle n\ge N und z,t\in Z, so dass alle Einträge von \widetilde Q als bedingte Wahrscheinlichkeiten definiert sind.
Vorsicht: Für Übergangsmatrizen Q, die nicht irreduzibel und aperiodisch sind, ist (*) im allgemeinen falsch.
Auf der Seite 216wird T_{mix} (eps) definiert als Mischungszeit für die "schlechteste" Anfangsverteilung und diese Bedeutung besitzen auch die auf den Seiten 218, 219 verwendeten Bezeichnungen T^{(d)}_{mix} (eps), T^{(k)}_{mix} (eps) und T^{(m)}_{mix} (eps). Auf Seite 238 unten wird die Bezeichnung T^{(d)}_{mix} (eps) allerdings mit einer anderen Bedeutung benutzt: In der unteren Display Formel etwa ist die Anfangsverteilung die Gleichverteilung auf einer Kugel.
Auf Seite 223 steht, dass noch nicht bekannt ist, ob der Swendsen-Wang-Algorithmus bei jeder Temperatur schnell mischend ist. Dieses Problem wurde inzwischen (mit positiver Antwort) von Mario Ullrich in seiner Dissertation gelöst:
Rapid mixing of Swendsen-Wang dynamics in two dimensions, Dissertation, Jena, 2012, siehe auch:
Mario Ullrich, Rapid mixing of Swendsen-Wang and single-bond dynamics in two dimensions, arXiv, February 2012.
Auf Seite 294 (Ende des Beweises von Satz 7.42)wird formell mit dem Log. zur Basis 2 argumentiert, aber \ln geschrieben. Das sollte man ändern. [danke, Mario H.]
Seite 305In der Definition des Euler-Maruyama-Verfahrens auf Seite 305 fehlt der Term X_{t_j}^{(m)} in der Summe auf der rechten Seite. [danke, Herr Steffen Omland.]