Felix-Klein Kolloquium des Fachbereichs
Im Jahr 1892 legte Lyapunov die Grundlagen der modernen
Stabilitätstheorie dynamischer Systeme, indem er zunächst die Begriffe
der Stabilität (im Sinne von Lyapunov) und der asymptotischen
Stabilität prägte. Er verwendete dann verallgemeinerte
Energiefunktionen, die heutzutage Lyapunovfunktionen heißen, um
hinreichende Bedingungen für asymptotische Stabilität anzugeben. Ein
wesentlicher Vorteil seiner Methodik ist, dass keine Kenntnis der
Systemtrajektorien benötigt wird, sodass das Verfahren für eine
Vielzahl von Systemen Anwendung gefunden hat. In der westlichen
Literatur fanden seine Resultate erst spät Beachtung. Seit der zweiten
Hälfte des 20. Jahrhunderts aber werden weltweit Anwendungen,
Erweiterungen und Spezialfälle von Lyapunovs Resultaten untersucht.
Die Methodik wurde insbesondere für unendlichdimensionale Systeme
weiterentwickelt. Datko zeigte im Jahr 1970, dass für stark stetige
Halbgruppen auf Hilberträumen exponentielle Stabilität genau dann
vorliegt, wenn eine quadratische Lyapunovfunktion existiert. Der
entscheidende neue unendlichdimensionale Aspekt an diesem Resultat ist,
dass es in bestimmten Fällen keine quadratische und zugleich koerzive
Lyapunovfunktion geben kann. Ganz anders wurde bei der Behandlung
nichtlinearer partieller Differentialgleichungen vorgegangen, wo in
klassischen Büchern direkte Lyapunovsätze regelmäßig Koerzivität
voraussetzen. Die entsprechenden Beweise sind dann auch einfache
Verallgemeinerungen des endlich-dimensionalen Vorgehens.
Es stellt sich jedoch die Frage inwieweit diese Annahme in der
Theoriebildung gerechtfertigt ist, und welchen Stellenwert die
Bedingung der Koerzivität wirklich hat. Es zeigt sich, dass man auch
ohne diese Bedingung einiges erreichen kann.
Im Vortrag wird ein Überblick über die Entwicklung der Theorie der
Lyapunovfunktionen gegeben sowie einige Anwendungen beleuchtet, die
über Stabilitätsfragen hinausgehen. Schließlich wird die Bedeutung von
Koerzivitätsbedingungen im endlich- und unendlichdimensionalen Fall
diskutiert.